题目内容
【题目】已知函数f(x)=lg . (Ⅰ)求函数f(x)的定义域,并证明其在定义域上是奇函数;
(Ⅱ)对于x∈[2,6],f(x)>lg 恒成立,求m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由 >0,解得x<﹣1或x>1,
∴函数的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
∵f(﹣x)=lg =lg
=﹣lg
=﹣f(x),
∴函数f(x)为奇函数,
(Ⅱ)由题意:x∈[2,6],
∴(x﹣1)(7﹣x)>0,
∵ >0,可得:m>0.
即:lg >lg
>恒成立,
整理:lg ﹣lg
>0,
化简:lg >0,
可得:lg >lg1,
即 >1,
∴(x+1)(7﹣x)﹣m>0,即:﹣x2+6x+7>m,(x∈[2,6])恒成立,
只需m小于﹣x2+6x+7的最小值.
令:y=﹣x2+6x+7=﹣(x﹣3)2+16
开口向下,x∈[2,6],
当x=6时,y取得最小值,ymin=﹣(6﹣3)2+16=7,
所以:实数m的取值范围(0,7).
【解析】(Ⅰ)对数函数的指数大于0,从而求解定义域.根据函数的奇偶性进行判断即可.(Ⅱ)利用对数函数的性质化简不等式,转化为二次函数的问题求解m的取值范围.
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