Question

【题目】已知函数f（x）=lg ． （Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并证明其在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）对于x∈[2，6]，f（x）＞lg 恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ＞0，解得x＜﹣1或x＞1，

∴函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

∵f（﹣x）=lg =lg =﹣lg =﹣f（x），

∴函数f（x）为奇函数，

（Ⅱ）由题意：x∈[2，6]，

∴（x﹣1）（7﹣x）＞0，

∵ ＞0，可得：m＞0．

即：lg ＞lg ＞恒成立，

整理：lg ﹣lg ＞0，

化简：lg ＞0，

可得：lg ＞lg1，

即 ＞1，

∴（x+1）（7﹣x）﹣m＞0，即：﹣x2+6x+7＞m，（x∈[2，6]）恒成立，

只需m小于﹣x2+6x+7的最小值．

令：y=﹣x2+6x+7=﹣（x﹣3）2+16

开口向下，x∈[2，6]，

当x=6时，y取得最小值，ymin=﹣（6﹣3）2+16=7，

所以：实数m的取值范围（0，7）．

【解析】（Ⅰ）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．（Ⅱ）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．