Question

19．（1）求值：$\frac{\sqrt{1-sin20°}}{cos10°-sin170°}$
（2）求证：cosx+sinxtan$\frac{x}{2}$=1，（x≠π+2kπ，k∈z）

Answer 1

分析 （1）利用平方关系sin²x+cos²x=1进行转化，即可求得$\frac{\sqrt{1-sin20°}}{cos10°-sin170°}$的值；
（2）方法一：将所证的等式中的“切”化“弦”，通分后再逆用两角差的余弦即可证得结论成立；
方法二：利用cosx═${cos}^{2}\frac{x}{2}$-${sin}^{2}\frac{x}{2}$，tan$\frac{x}{2}$=$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$，代入左端整理即可证得右端．

解答 （1）解：原式=$\frac{\sqrt{{sin}^{2}10°+{cos}^{2}10°-2sin10°cos10°}}{cos10°-sin170°}$ …（2分）
=$\frac{|sin10°-cos10°|}{cos10°-sin10°}$…（4分）

=$\frac{cos10°-sin10°}{cos10°-sin10°}$=1…（5分）
（2）证明：方法一∵左边=cosx+sinx•$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$…（6分）
=$\frac{cosxcos\frac{x}{2}+sinxsin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$…（7分）
=$\frac{cos（x-\frac{x}{2}）}{cos\frac{x}{2}}$=1=右边…（9分）
∴原式成立． …（10分）
方法二：∵左边=${cos}^{2}\frac{x}{2}$-${sin}^{2}\frac{x}{2}$+2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$•$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$  …（6分）
=${cos}^{2}\frac{x}{2}$+${sin}^{2}\frac{x}{2}$…（8分）
=1=右边…（9分）
∴原式成立．…（10分）

点评 本题考查同角三角函数基本关系式及变形公式的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．