题目内容

10.已知函数f(x)=$\sqrt{3}{sinx}$+cosx+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(2)若a为第三象限角,且$f(α-\frac{π}{6})=\frac{1}{3}$,求$\frac{cos2α}{1+cos2α-sin2α}$的值.

分析 (1)由三角函数恒等变换化简可得函数解析式为f(x)=$2sin(x+\frac{π}{6})+1$,由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期和值域;
(2)由$f(α-\frac{π}{6})=\frac{1}{3}$根据(1)可得sinα,结合a为第三象限角,可求cosα的值,由二倍角公式化简所求即可得解.

解答 (本题满分12分)
解:(1)∵$f(x)=\sqrt{3}{sinx}+cosx+1$
=$2(\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx)+1$…(1分)
=$2sin(x+\frac{π}{6})+1$…(3分)
∴函数f(x)的周期为2π,值域为[-1,3].…(5分)
(2)∵$f(α-\frac{π}{6})=\frac{1}{3}$,∴$2sinα+1=\frac{1}{3}$,即$sinα=-\frac{1}{3}$…(7分)
∵$\frac{cos2α}{1+cos2α-sin2α}$=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{2co{s}^{2}α-2sinαcosα}$=$\frac{(cosα+sinα)(cosα-sinα)}{2cosα(cosα-sinα)}$…(9分)
=$\frac{cosα+sinα}{2cosα}$,…(10分)
又∵α为第三象限角,所以$cosα=-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…(11分)
∴原式=$\frac{cosα+sinα}{2cosα}=\frac{{4+\sqrt{2}}}{8}$…(12分)

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,同角三角函数的关系式的应用,属于基本知识的考查.

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