题目内容

设数满足:.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,且对任意的正整数,都有,求实数的取值范围.
(1)详见解析;(2).

试题分析:(1)先令求出的值,然后令,由得到
,将两式相减得到,利用定义法证明数列
等比数列;(2)在(1)的基础上求出数列的通项公式,进而确定数列的通项公式,将不等式
转化为,利用作差法研究数列的单调性,确定数列的最大项的值,
从而解出相应的不等式即可.
(1)当时,则有,解得
时,

上式下式,得,所以
,且
因此数列是首项为,公比为的等比数列,
因此
(2)对任意的正整数恒成立,则

时,,即,因此
时,则,则有
时,,即,则数列从第四项开始单调递减,
因此,最大,
所以,即,解得
因此实数的取值范围是.
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