题目内容
三棱锥S—ABC中,一条棱长为a,其余棱长均为1,求a为何值时VS—ABC最大,并求最大值.
a为
时,三棱锥的体积最大为


方法一 如图所示,
设SC=a,其余棱长均为1,
取AB的中点H,连接HS、HC,
则AB⊥HC,AB⊥HS,
∴AB⊥平面SHC.
在面SHC中,过S作SO⊥HC,则SO⊥平面ABC.
在△SAB中,SA=AB=BS=1,
∴SH=
,
设∠SHO=
,则SO=SHsin
=
sin
,
∴VS—ABC=
S△ABC·SO
=
×
×12×
sin
=
sin
≤
.
当且仅当sin
=1,即
=90°时,三棱锥的体积最大.
a=
SH=
×
=
,Vmax=
.
∴a为
时,三棱锥的体积最大为
.
方法二 取SC的中点D,可通过VS—ABC=
S△ABD·SC,转化为关于a的目标函数的最大值问题,利用基本不等式或配方法解决.

取AB的中点H,连接HS、HC,
则AB⊥HC,AB⊥HS,
∴AB⊥平面SHC.
在面SHC中,过S作SO⊥HC,则SO⊥平面ABC.
在△SAB中,SA=AB=BS=1,
∴SH=

设∠SHO=




∴VS—ABC=

=




=



当且仅当sin


a=





∴a为


方法二 取SC的中点D,可通过VS—ABC=


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