Question

【题目】设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，其中为原点， 为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程及离心率的值；

（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为. ;（2）

【解析】试题分析：（1）由椭圆方程可知，由已知得，∴，平方得，所以，又因为，∴，解得，所以，因此.所以，椭圆的方程为. . （2）因为直线过点，设直线的斜率为，由点斜式得直线的方程为，设，把直线的方程为与椭圆方程联立消去，得，因为2与点B的横坐标是此方程的两个根，用根于系数的关系得，代入直线的方程从而得. 由，得，设，求两向量的坐标。由（1）知， ，得向量坐标， . 所以，解得.因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，由直线的斜截式得直线的方程为.联立直线的方程与直线的方程，设，可解得点M的横坐标，在中，由大边对大角得，由两点间的距离公式得，化简得，即，解不等式可得，或.

试题解析：解：（1）设，∵ ，∴ ，

又，∴ ， ，∴ ，

所以，因此.

所以，椭圆的方程为. .

（2）解：设直线的斜率为，则直线的方程为，设，

由方程组，消去，得，

解得，或，由题意得，从而.

由（1）知， ，设，有， .

由，得，所以，解得.因此直线的方程为.

设，由方程组，消去，解得，在中， ，即，化简得，即，解得，或.

所以，直线的斜率的取值范围为.