题目内容
【题目】某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
售出水量x（单位：箱） | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收益y（单位：元） | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
(Ⅰ) 若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？
(Ⅱ) 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为
，获二等奖学金的概率均为
，不获得奖学金的概率均为
.
⑴在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；
⑵已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。
附： 
， 
。
【答案】（Ⅰ）186元；（Ⅱ）（1）
；（2）分布列见解析，期望为600.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意可求得回归方程为
，据此预测售出8箱水时，预计收益为186元；
(Ⅱ) (1)由条件概率公式可得他获得一等奖学金的概率是
；
(2) 由题意可得X的取值可能为0，300，500，600，800，1000，据此求得分布列，然后计算可得数学期望为600.
试题解析：
， 
， 
…
当
时， 
即某天售出8箱水的预计收益是186元。
(Ⅱ) ⑴设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，
则即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为
⑵X的取值可能为0，300，500，600，800，1000
，
，
，
，
即
的分布列为：
（元）
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