题目内容
【题目】已知向量 与
.
(Ⅰ)若 在
方向上的投影为
,求λ的值;
(Ⅱ)命题P:向量 与
的夹角为锐角;
命题q: ,其中向量
,
=(
)(λ,α∈R).若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求λ的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由已知, 在
方向上的投影
=
,即
=
.
所以1﹣2λ=5,∴λ=﹣2.
(Ⅱ)1°,若p为真,则 >0,且
,即1﹣2λ>0,且λ≠﹣2.
2°若p为真,由 得λ2﹣cos2α=λ+2sinα,
∴λ2﹣λ=cos2α+2sinα=1﹣sin2α+2sinα=﹣(sinα﹣1)2+2.
∵﹣1≤sinα≤1,∴﹣2≤λ2﹣λ≤2,∴﹣1≤λ≤2.
若p真q假,则 ∴λ<﹣1且λ≠﹣2.
若p假q真,则 ∴
≤λ≤2
综上得λ∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,﹣1)∪[ ,2]
【解析】(Ⅰ) 在
方向上的投影的表达式是
,由此得出关于λ的方程,解出即可.(Ⅱ)若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,则pq中一真一假,分类求解,再合并即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识,掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真,以及对数量积表示两个向量的夹角的理解,了解设、
都是非零向量,
,
,
是
与
的夹角,则
.
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