Question

11．已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及${S_n}=\sum_{i=1}^n{a_i}$；
（2）试比较S_n与（n-2）3ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用赋值法求解a₀，利用二项式定理以及赋值法求解${S}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{a}_{i}$即可．
（2）先通过不完全归纳猜出两者的大小，然后用数学归纳法证明．注意三歩：第一步证基础第二步证递推关系第三歩总．

解答 解：（1）（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，
当x=1时，（1+1）ⁿ=a₀，
可得a₀=2ⁿ．
[（x-1）+2]ⁿ=（x+2）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，
当x=2时，上式化为：3ⁿ=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n，
${S}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{a}_{i}$=3ⁿ-2ⁿ
（2）要比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，
即比较：3ⁿ与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
当n=1时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=4，5时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
猜想：当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
两边同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]，
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0，
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²，
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
综上得，
当n=1时，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，S_n＜（n-2）2ⁿ+2n²；
当n≥4，n∈N^*时，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²

点评 本题考查赋值法是求二项式定理的系数以及求解方法；考查数学归纳法证明与自然数有关的命题．