题目内容
1．若数列{an}满足“对任意正整数n，$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$恒成立”，则称数列{an}为“差非增数列”．给出下列数列{an}，n∈N*：
①an=2n+$\frac{1}{n}$+1，②an=n2+1，③an=2n+1，④an=ln$\frac{n}{n+1}$，⑤an=2n+$\frac{1}{n}$．
其中是“差非增数列”的有③④（写出所有满足条件的数列的序号）．
分析 把$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$恒成立化为an+an+2≤2an+1恒成立，然后逐一验证5个数列得答案．
解答 解：①若an=2n+$\frac{1}{n}$+1为“差非增数列”，则${2}^{n}+\frac{1}{n}+1+{2}^{n+2}+\frac{1}{n+2}+1≤2（{2}^{n+1}+\frac{1}{n+1}+1）$恒成立，
即${2}^{n}≤\frac{-2}{n（n+1）（n+2）}$恒成立，此式显然不正确，①不是“差非增数列”；
②若an=n2+1为“差非增数列”，则n2+1+（n+2）2+1≤2（n+1）2+2，
即2≤0恒成立，此式显然不正确，②不是“差非增数列”；
③若an=2n+1为“差非增数列”，则2n+1+2（n+2）+1≤2[2（n+1）+1]，
即0≤0恒成立，此式显然正确，③是“差非增数列”；
④若an=ln$\frac{n}{n+1}$为“差非增数列”，则ln$\frac{n}{n+1}$+ln$\frac{n+2}{n+3}$≤2ln$\frac{n+1}{n+2}$，
即$\frac{n}{n+1}•\frac{n+2}{n+3}≤（\frac{n+1}{n+2}）^{2}$恒成立，也就是2n+3≥0恒成立，此式显然正确，④是“差非增数列”；
⑤若an=2n+$\frac{1}{n}$为“差非增数列”，则$（2n+\frac{1}{n}）+[2（n+2）+\frac{1}{n+2}]$$≤2[2（n+1）+\frac{1}{n+1}]$，
即2≤0恒成立，此式显然不正确，②不是“差非增数列”．
故答案为：③④．
点评 本题是新定义题，考查了数列的函数特性，考查了计算能力，是中档题．
| A． | 2 | B． | $\frac{4}{3}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{8}{3}$ |
如图四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点，PA=AB=2，∠BAD=120°．| A． | c＜b＜a | B． | c＜a＜b | C． | b＜a，c | D． | a＜b＜c |
如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
如图，已知定点A（1，0），点B是定直线l：x=-1上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C．