题目内容

2.已知圆O:x2+y2=4,动直线l1:x-ky+2k=0和l2:kx+y-4k=0(k∈R).
(1)试判断直线l1和圆O的位置关系,并说明理由;
(2)已知直线l2与圆O相交,直线l1被圆O截得的弦的中点为M,求动点M的轨迹方程.

分析 (1)动直线l1经过定点A(0,2),而点A在圆O上,由此可得直线l1和圆O的位置关系.
(2)由l2和圆O相交,可得弦心距小于半径,求得k的范围.设直线l1被圆O截得的弦的中点为M(x,y),则线段OM和直线l1垂直,它们的斜率之积等于-1,
即 $\frac{y}{x}$•$\frac{1}{k}$=-1,化简可得结果.

解答 解:(1)动直线l1:x-ky+2k=0,即 x-k(y-2)=0,经过定点A(0,2),
而点A在圆O:x2+y2=4上,故直线l1:x-ky+2k=0和圆O至少有一个交点,故直线l1和圆O相交或相切.
(2)由l2:kx+y-4k=0和圆O:x2+y2=4相交,可得弦心距$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$<2,求得k2<$\frac{1}{3}$,即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$<k<$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
设直线l1被圆O截得的弦的中点为M(x,y),则线段OM和直线l1垂直,∴$\frac{y}{x}$•$\frac{1}{k}$=-1,
即 y=-kx(-$\frac{\sqrt{3}}{3}$<k<$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ),表示一条线段.

点评 本题主要考查直线经过定点问题,直线和圆的位置关系,圆的弦的性质,属于基础题.

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