Question

9．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：$\frac{x^2}{24}+\frac{{y{\;}^2}}{12}$=1，设R（x₀，y₀）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作两条切线，切点分别为P，Q．
（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k₁，k₂，求证：2k₁k₂+1=0．

Answer 1

分析 （1）由直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，可得OR=4，再由R在椭圆上，满足椭圆方程，求得点R的坐标，即可得到圆R的方程；
（2）运用直线和圆相切的条件：d=r，结合二次方程的韦达定理和点R满足椭圆方程，化简整理，即可得证．

解答 解：（1）由题圆R的半径为$2\sqrt{2}$，因为直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，
所以$OR=\sqrt{2}r=4$，即${x_0}^2+{y_0}^2=16$，①
又R（x₀，y₀）在椭圆C上，所以$\frac{{{x_0}^2}}{24}+\frac{{{y_0}{\;}^2}}{12}=1$，②
由①②及R在第一象限，解得${x_0}={y_0}=2\sqrt{2}$，
所以圆R的方程为：${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{（{y-2\sqrt{2}}）^2}=8$；
（2）证明：因为直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x均与圆R相切，
所以$\frac{{|{{k_1}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+{k_1}^2}}}=2\sqrt{2}$，化简得$（{x_0}^2-8）{k_1}^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+{y_0}^2-8=0$，
同理有$（{x_0}^2-8）{k_2}^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+{y_0}^2-8=0$，
所以k₁，k₂是方程$（{x_0}^2-8）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+{y_0}^2-8=0$的两个不相等的实数根，
所以${k_1}{k_2}=\frac{{{y_0}^2-8}}{{{x_0}^2-8}}$．又因为R（x₀，y₀）在椭圆C上，所以$\frac{{{x_0}^2}}{24}+\frac{{{y_0}{\;}^2}}{12}=1$，
即${y_0}^2=12-\frac{1}{2}{x_0}^2$，所以${k_1}{k_2}=\frac{{4-\frac{1}{2}{x_0}^2}}{{{x_0}^2-8}}=-\frac{1}{2}$，
即2k₁k₂+1=0．

点评 本题考查椭圆的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，以及韦达定理的运用，考查运算化简能力，属于中档题．