题目内容

8．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a2+a3=12，且a22=2a1•（a3+1）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设b1+b2+…+bn=n•an，求bn．

分析 （1）由已知列方程组求得等差数列的首项和公差，代入通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的通项公式代入b1+b2+…+bn=n•an，取n=n-1得另一递推式，作差后求得bn．

解答 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a1+a2+a3=12，且a22=2a1•（a3+1），得
$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=12}\\{（{a}_{1}+d）^{2}=2{a}_{1}（{a}_{1}+2d+1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=0}\\{d=4}\end{array}\right.$（舍），
∴an=1+3（n-1）=3n-2；
（2）由b1+b2+…+bn=n•an，得
b1+b2+…+bn=n•（3n-2）=3n2-2n，
b1+b2+…+bn-1=3（n-1）2-2（n-1）（n≥2），
两式作差得：bn=6n-5（n≥2），
由b1=1适合上式，
∴bn=6n-5．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查由数列的前n项和求数列通项，是中档题．

练习册系列答案
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C．[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）D．[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）
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