Question

11．已知动点P（x，y）到直线x=4的距离是它到点Q（1，0）的距离的2倍
（1）求动点P的轨迹D的方程；
（2）若点A是曲线D与x轴负半轴的交点，C是曲线上的另一点，直线AC的垂直平分线是l，直线l与y轴的交点是N（0，y₀），且满足NA⊥NC，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为$\frac{1}{2}$，建立方程，化简可得动点P的轨迹方程；
（2）先运用中点坐标公式和直线垂直的条件：斜率之积为-1，求出l的方程，可得N的坐标，再利用$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NC}$=0，即可求点C的坐标．

解答 解：（1）由题意得：2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x-4|，
两边平方，4（x²+y²-2x+1）=x²-8x+16，
化简可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴点P的轨迹D的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设C（x₁，y₁）（y₁≠0），且A（-2，0），
则AC的中点M（$\frac{{x}_{1}-2}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
由已知k_AC=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，则k_l=-$\frac{{x}_{1}+2}{{y}_{1}}$，
∴l：y-$\frac{{y}_{1}}{2}$=-$\frac{{x}_{1}+2}{{y}_{1}}$（x-$\frac{{x}_{1}-2}{2}$），
令x=0，则y₀=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4+{{y}_{1}}^{2}}{2{y}_{1}}$=-$\frac{{y}_{1}}{6}$，
即N（0，-$\frac{{y}_{1}}{6}$），
∴$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NC}$=（-2，$\frac{{y}_{1}}{6}$）•（x₁，$\frac{7{y}_{1}}{6}$）=-2x₁+$\frac{7{{y}_{1}}^{2}}{36}$=0，
∴7x₁²+96x₁-28=0
∴x₁=$\frac{2}{7}$（x₁=-14舍去），
∴y₁=±$\frac{12}{7}$，
∴C（$\frac{2}{7}$，±$\frac{12}{7}$）．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．