题目内容
【题目】设函数,
(
).
(1)当时,若函数
与
的图象在
处有相同的切线,求
的值;
(2)当时,若对任意
和任意
,总存在不相等的正实数
,使得
,求
的最小值;
(3)当时,设函数
与
的图象交于
两点.求证:
.
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义可得,又
,解方程组可得
的值;(2)先转化条件为对应方程有两个不等实根,再根据实根分布充要条件列不等式组,解得
的最小值;(3)先根据零点表示b,代入要证不等式化简得
.再构造函数
,以及
,结合导数研究其单调性,即证得结论
试题解析:解:(1)由,得
,又
,所以
,.
当时,
,所以
,所以
.
因为函数与
的图象在
处有相同的切线,
所以,即
,解得
.
(2)当时,则
,又
,设
,
则题意可转化为方程在
上有相异两实根
.
即关于的方程
在
上有相异两实根
.
所以,得
,
所以对
恒成立.
因为,所以
(当且仅当
时取等号),
又,所以
的取值范围是
,所以
.
故的最小值为
.
(3)当时,因为函数
与
的图象交于
两点,
所以,两式相减,得
.
要证明,即证
,
即证,即证
.
令,则
,此时即证
.
令,所以
,所以当
时,函数
单调递增.
又,所以
,即
成立;
再令,所以
,所以当
时,函数
单调递减,
又,所以
,即
也成立.
综上所述, 实数满足
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数(Air Pollution Index)的监测数据,结果统计如下:
大于300 | |||||||
空气质量 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 中度重 污染 | 重度污染 |
天数 | 10 | 15 | 20 | 30 | 7 | 6 | 12 |
(Ⅰ)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有7天为重度污染,完成下面列联表,并判断能否有
的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?
非重度污染 | 重度污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 | 100 |
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:
(Ⅱ)政府要治理污染,决定对某些企业生产进行管控,当在区间
时企业正常生产;当
在区间
时对企业限产
(即关闭
的产能),当
在区间
时对企业限产
,当
在300以上时对企业限产
,企业甲是被管控的企业之一,若企业甲正常生产一天可得利润2万元,若以频率当概率,不考虑其他因素:
①在这一年中随意抽取5天,求5天中企业被限产达到或超过的恰为2天的概率;
②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值.