题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知直线
与椭圆
交于点
,
(
在
轴上方),且
.设点
在
轴上的射影为
,三角形
的面积为2(如图1).
(1)求椭圆的方程;
(2)设平行于的直线与椭圆相交,其弦的中点为
.
①求证:直线的斜率为定值;
②设直线与椭圆相交于两点
,
(
在
轴上方),点
为椭圆上异于
,
,
,
一点,直线
交
于点
,
交
于点
,如图2,求证:
为定值.
【答案】(1) (2) ①
②
【解析】试题分析:(1)设,已知
,即
,所以
,故
,即
,再根据椭圆经过
解得
,从而可得椭圆的方程;(2)设平行
的直线的方程为
,且
,① 联立
,得到
,根据韦达定理求得
,
,从而可得直线
的斜率为定值,②由题意可知
,求出
.设
,求出
的坐标,利用弦长公式分别求出
的值,将
用
表示,化简消去
即可的结论.
试题解析:(1)由题意,可设,已知
,即
,
所以,故
,即
;
又椭圆经过,即
,解得
;
故所求椭圆的方程为:
(2)设平行的直线的方程为
,且
,
① 联立,得到
,
所以,
;
故,直线的斜率为
(定值)
②由题意可知,
联立方程组得
设,先考虑直线斜率都存在的情形:
直线,
联立方程组: 得
,
直线,
联立方程组: 得
,
则,
,
所以
当直线斜率不存在时结果仍然成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A、B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区: | 62 | 73 | 81 | 92 | 95 | 85 | 74 | 64 | 53 | 76 |
78 | 86 | 95 | 66 | 97 | 78 | 88 | 82 | 76 | 89 | |
B地区: | 73 | 83 | 62 | 51 | 91 | 46 | 53 | 73 | 64 | 82 |
93 | 48 | 95 | 81 | 74 | 56 | 54 | 76 | 65 | 79 |
(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度(不要求算出具体值,给出结论即可):
(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率。