Question

【题目】设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且

f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式.

Answer 1

【答案】(1) f(x)是偶函数(2)

【解析】试题分析：（1）因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)，又f（x）是最小正周期为 2的函数，所以f(x＋2)＝f(x)，则 f(－x)＝f(x)，所以得f（x）是偶函数；
（2）由-1≤x≤0时，f（x）=-x，根据f(x)是偶函数得当0≤x≤1时，f（x）解析式；由f（x）是最小正周期为 2的函数，得1≤x≤2时，f（x）解析式.

试题解析：

(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).

又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).

又f(x)的定义域为R，

∴f(x)是偶函数.

(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，

则f(x)＝f(－x)＝x；

进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，

f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.

故