题目内容
【题目】已知函数 ,且
.
(Ⅰ)设 ,求
的单调区间及极值;
(Ⅱ)证明:函数的图象在函数
的图象的上方.
【答案】(Ⅰ) 当时,
.(Ⅱ)详见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意可得,则
=
,求导即可研究单调区间及极值;
(Ⅱ)证明:函数的图象在函数
的图象的上方,等价于
,即
,只要证得
,可通过证明
即可.
试题解析:
(Ⅰ)解:由,所以
,解得
,
又得
,所以
,
于是,则
,由
,
所以的递增区间
,递减区间
,
当时,
.
(Ⅱ)证明:“函数的图象在函数
的图象的上方”等价于“
”,即要证:
,又
,
所以只要证.
由(Ⅰ)得,即
(当且仅当
时等号成立),
所以只要证明当时,
即可.
设,
所以,令
,解得
,
由得
,所以
在
上为增函数,
所以,即
,
所以,故函数
的图象在函数
的图象的上方.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2017年4月1日,新华通讯社发布:国务院决定设立河北雄安新区.消息一出,河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.
(1)为了响应国家号召,北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查,8个学院的调查人数及统计数据如下:
调查人数( | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
愿意整体搬迁人数( | 8 | 17 | 25 | 31 | 39 | 47 | 55 | 66 |
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量关于变量
的线性回归方程
保留小数点后两位有效数字);若该校共有教职员工2500人,请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数;
(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区,现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察,记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数,求
的分布列及数学期望.
参考公式及数据: .
【题目】某学校高三年级共有1000名学生,其中男生650人,女生350人,为了调查学生周末的休闲方式,用分层抽样的方法抽查了200名学生.
(Ⅰ)完成下面的列联表;
不喜欢运动 | 喜欢运动 | 合计 | |
女生 | 50 | ||
男生 | |||
合计 | 100 | 200 |
(Ⅱ)在抽取的样本中,调查喜欢运动女生的运动时间,发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间,右图是测量结果的频率分布直方图,若从区间段和
的所有女生中随机抽取两名女生,求她们的运动时间在同一区间段的概率.