Question

（本小题满分13分）
已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上一点到准线的距离是，过点的直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求证：是和的等比中项．

Answer 1

（1）（2）0（3）略

（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为．
因为点在抛物线上，所以．
又点到抛物线准线的距离是，所以，可得．
所以抛物线的标准方程为．………………………………………………3分
（Ⅱ）解：点为抛物线的焦点，则．
依题意可知直线不与轴垂直，所以设直线的方程为．
由  得．
因为过焦点，所以判别式大于零．
设，．
则，．……………………………………………………6分
．
由于，所以．
切线的方程为，         ①
切线的方程为．        ②
由①，②，得．…………………………………8分
则．
所以．………………………10分
（Ⅲ）证明：．
由抛物线的定义知 ，．
则
．
所以．
即是和的等比中项．…………………………………………………13分