题目内容

【题目】定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1 , x2(a<x1<x2<b)满足f′(x1)= ,f′(x2 ,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3﹣x2+a是[0,a]上“双中值函数”,则实数a的取值范围是(
A.(
B.(0,1)
C.( ,1)
D.( ,1)

【答案】D
【解析】解:由题意可知,
在区间[0,a]存在x1 , x2(0<x1<x2<a),
满足f′(x1)= = =a2﹣a,
∵f(x)=x3﹣x2+a,
∴f′(x)=3x2﹣2x,
∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间(0,a)有两个解.
令g(x)=3x2﹣2x﹣a2+a,(0<x<a),

解得 <a<1,
故选:D.
由新定义可知f′(x1)=f′(x2)=a2﹣a,即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间(0,a)有两个解,利用二次函数的性质可知实数a的取值范围

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