题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)经过点
,且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)动直线:
(
,
)交椭圆
于
、
两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点
,使得以
为直径的圆恒过点
.若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)在坐标平面上存在一个定点
满足条件.
【解析】试题分析:
(1)由题设知a= ,所以
,椭圆经过点P(1,
),代入可得b=1,a=
,由此可知所求椭圆方程
(2)首先求出动直线过(0,﹣)点.当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+(y+
)2=
;当l与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1.由
.由此入手可求出点T的坐标.
解:
(1)∵椭圆:
(
)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴,∴
又∵椭圆经过点,代入可得
.
∴,故所求椭圆方程为
.
(2)首先求出动直线过点.
当与
轴平行时,以
为直径的圆的方程:
当与
轴平行时,以
为直径的圆的方程:
由解得
即两圆相切于点,因此,所求的点
如果存在,只能是
,事实上,点
就是所求的点.
证明如下:
当直线垂直于
轴时,以
为直径的圆过点
当直线不垂直于
轴,可设直线
:
由消去
得:
记点、
,则
又因为,
所以
所以,即以
为直径的圆恒过点
所以在坐标平面上存在一个定点满足条件.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件,量其内径尺寸,得结果如下表:
甲厂:
分组 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
频数 | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
乙厂:
分组 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
频数 | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;
(2)由以上统计数据填下面列联表,并问是否有
的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
甲 厂 | 乙 厂 | 合计 | |
优质品 | |||
非优质品 | |||
合计 |
附: