题目内容
.(本小题满分14分)三棱柱的直观图及三视图(主视图和俯视图是正方形,左侧图是等腰直角三角形)如图,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的正切值.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的正切值.
解:由三视图可知,几何体为直三棱柱—,侧面
为边长为2的正方形,底面是等腰直角三角形,………2分(1)连BC交于O,连接OD,在中,O,D分别是,
AC的中点,
而平面,平面,平面………………..4分
(2)直三棱柱—中,平面,平面,
,,D为AC的中点,,
平面,①………………..6分
又,
在正方形②………………..8分
由①②,又,
……………………………………………………………9
(3)解法一;提示:所求二面角与二面角C--D互余……………………………………..12
取BC中点H,有DH⊥平面,过H作垂线,垂足为E,
所以二面角C--D的平面角是∠DEH…………….. ……………………12分
,因为二面角A--D与二面角C--D互余,所以二面角A--D的正切值为;……………..14
解法二(补形)如图补成正方体,易得∠O1OS为二面角的平面角,……………..14
解法三(空间向量法)以为原点建系,易得
设平面D的法向量由
得令得…………..12
又平面A的法向量
设二面角A--D的平面角为
所以…………..14
为边长为2的正方形,底面是等腰直角三角形,………2分(1)连BC交于O,连接OD,在中,O,D分别是,
AC的中点,
而平面,平面,平面………………..4分
(2)直三棱柱—中,平面,平面,
,,D为AC的中点,,
平面,①………………..6分
又,
在正方形②………………..8分
由①②,又,
……………………………………………………………9
(3)解法一;提示:所求二面角与二面角C--D互余……………………………………..12
取BC中点H,有DH⊥平面,过H作垂线,垂足为E,
所以二面角C--D的平面角是∠DEH…………….. ……………………12分
,因为二面角A--D与二面角C--D互余,所以二面角A--D的正切值为;……………..14
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解法三(空间向量法)以为原点建系,易得
设平面D的法向量由
得令得…………..12
又平面A的法向量
设二面角A--D的平面角为
所以…………..14
略
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