Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{{x}^{2}+mx（x＜0）}\end{array}\right.$为奇函数．
（1）求f（-1）以及m的值；
（2）在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象，并写出单调区间；
（3）就k的取值范围，讨论函数g（x）=f（x）-2k+1的零点个数．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数的解析式，先求出f（1），再由f（-1）=-f（1）得到f（-1）以及m的值；
（2）由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可得y=f（x）的图象，数形结合可写出单调区间；
（3）结合y=f（x）的图象，分类讨论不同情况下，y=f（x）的图象与y=2k-1交点的个数，可得答案．

解答 解：（1）f（1）=1，f（-1）=-f（1）=-1，…（1分）
当x＜0时，-x＞0，f（x）=-（x）²+2（-x）=-x²-2x，又f（x）为奇函数，
f（x）=-f（-x）=x²+2x，
所以m=2．…2分
（2）y=f（x）的图象如图所示．
…（4分）
由图可得：
f（x）的单调递增区间（-1，1），
f（x）的单调递减区间…（-∞，-1），（1，+∞）…（7分）
（3）由（2）中f（x）的图象知：
若函数g（x）=f（x）-2k+1有一个零点，则2k-1＞1或2k-1＜-1
即k＞1或k＜0…（9分）
若函数g（x）=f（x）-2k+1有二个零点，则2k-1=1或2k-1=-1
即k=0或k=1…（11分）
若函数g（x）=f（x）-2k+1有三个零点，则-1＜2k-1＜1
即0＜k＜1…（13分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，函数的图象，函数的单调区间，函数的零点，是函数图象和性质的综合应用．