Question

6．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值．
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（3）解关于t的不等式：f（-t²-1）+f（|t|+3）＞0．

Answer 1

分析 （1）由f（x）为奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，解得c=0，又f（1）=$\frac{a+1}{b}$=2，化为2b=a+1．f（2）=$\frac{4a+1}{2b}$＜3，即可得出．
（2）f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．利用证明单调函数的方法即可证明．
（3）利用函数的奇偶性与单调性即可解出．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）+f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{-bx+c}$+$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$=0，
得-bx+c=-bx-c，解得c=0，
又f（1）=$\frac{a+1}{b}$=2，化为2b=a+1．
∵f（2）=$\frac{4a+1}{2b}$＜3，∴$\frac{4a+1}{a+1}＜3$，化为$\frac{a-2}{a+1}$＜0，?（a+1）（a-2）＜0，解得-1＜a＜2，
∵a∈Z，∴a=0或1．
当a=0时，解得b=$\frac{1}{2}$，与b∈Z矛盾，舍去．
当a=1时，b=1，
综上：a=b=1，c=0．
（2）f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，
函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂．
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}^{2}+1}{{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{2}^{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂．
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（3）∵f（-t²-1）+f（|t|+3）＞0，
∴f（|t|+3）＞-f（-t²-1）=f（t²+1）．
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴t²+1＜|t|+3，
化为（|t|-2）（|t|+1）＜0，
解得0≤|t|＜2，
解得-2＜t＜2．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．