Question

10．定义[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如：[-1，3]=-2，[0，8]=0；定义{x}=x-[x]．
（1）{$\frac{999}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{4}}{1000}$}=2；
（2）当n为奇数时，
{$\frac{999}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}+…+{$\frac{99{9}^{n}}{1000}$}=$\frac{n-1}{2}+\frac{999}{1000}$．

Answer 1

分析 （1）利用新定义求出{$\frac{999}{1000}$}，利用二项展开式求{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}、{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}的值，根据规律求出{$\frac{99{9}^{4}}{1000}$}的值，代入所求的式子求解；
（2）由（1）归纳出规律，利用此规律求出所求的式子的值．

解答 解：（1）由题意得，{$\frac{999}{1000}$}=$\frac{999}{1000}$-[$\frac{999}{1000}$]=$\frac{999}{1000}$，
∵$\frac{99{9}^{2}}{1000}$=$\frac{{（1000-1）}^{2}}{1000}$=$\frac{{1000}^{2}-2000+1}{1000}$=998+$\frac{1}{1000}$，
∴{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}=998+$\frac{1}{1000}$-998=$\frac{1}{1000}$，
∵$\frac{99{9}^{3}}{1000}$=$\frac{{（1000-1）}^{3}}{1000}$=$\frac{{1000}^{3}-3×100{0}^{2}+3×1000-1}{1000}$=1000²-3000+3-$\frac{1}{1000}$，
∴{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}=1000²-3000+3-$\frac{1}{1000}$-（1000²-3000+3-1）=$\frac{999}{1000}$
由二项式定理同理可得，{$\frac{99{9}^{4}}{1000}$}=$\frac{1}{1000}$，
∴{$\frac{999}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{4}}{1000}$}=$\frac{999}{1000}$+$\frac{1}{1000}$+$\frac{999}{1000}$+$\frac{1}{1000}$=2；
（2）由（1）可归纳出当n是奇数时，{$\frac{99{9}^{n}}{1000}$}=$\frac{999}{1000}$，
当n是偶数时，{$\frac{99{9}^{n}}{1000}$}=$\frac{1}{1000}$，
∴当n为奇数时，则有$\frac{n-1}{2}$个偶数，$\frac{n+1}{2}$个奇数，
{$\frac{999}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}+…+{$\frac{99{9}^{n}}{1000}$}=$\frac{n-1}{2}+\frac{999}{1000}$，
故答案：（1）2；（2）$\frac{n-1}{2}+\frac{999}{1000}$．

点评 本题考查由新定义求函数值，归纳推理，以及二项式定理的应用，解题的关键是根据前几项的规律发现所求项的各项的值，属于中档题．