题目内容

5.设$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是单位向量,若$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}$方向的投影为$\frac{1}{2}$,则$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角为(  )
A.$\frac{π}{3}$B.$\frac{2π}{3}$C.$\frac{π}{6}$D.$\frac{5π}{6}$

分析 设$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角为θ,则由两个向量的数量积的定义求得$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=cosθ;又|$\overrightarrow{a}$|=3,$\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}$方向的投影为$\frac{1}{2}$,可得 $\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$×3,由此求得cosθ的值,可得θ的值.

解答 解:设$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角为θ,则$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cosθ=cosθ.
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$•($\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$)=3${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-3cosθ=3-3cosθ,
又∵|$\overrightarrow{a}$|=3,$\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}$方向的投影为$\frac{1}{2}$,∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$×3,
∴3-3cosθ=$\frac{3}{2}$,求得cosθ=$\frac{1}{2}$,∴θ=$\frac{π}{3}$,
故选:A.

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算,属于基础题.

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