Question

5．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是单位向量，若$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}$方向的投影为$\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角为θ，则由两个向量的数量积的定义求得$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=cosθ；又|$\overrightarrow{a}$|=3，$\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}$方向的投影为$\frac{1}{2}$，可得 $\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$×3，由此求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：设$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角为θ，则$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cosθ=cosθ．
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=3${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-3cosθ=3-3cosθ，
又∵|$\overrightarrow{a}$|=3，$\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}$方向的投影为$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$×3，
∴3-3cosθ=$\frac{3}{2}$，求得cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，属于基础题．