题目内容
5.设$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是单位向量,若$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}$方向的投影为$\frac{1}{2}$,则$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角为( )A. | $\frac{π}{3}$ | B. | $\frac{2π}{3}$ | C. | $\frac{π}{6}$ | D. | $\frac{5π}{6}$ |
分析 设$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角为θ,则由两个向量的数量积的定义求得$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=cosθ;又|$\overrightarrow{a}$|=3,$\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}$方向的投影为$\frac{1}{2}$,可得 $\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$×3,由此求得cosθ的值,可得θ的值.
解答 解:设$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角为θ,则$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cosθ=cosθ.
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$•($\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$)=3${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-3cosθ=3-3cosθ,
又∵|$\overrightarrow{a}$|=3,$\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}$方向的投影为$\frac{1}{2}$,∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$×3,
∴3-3cosθ=$\frac{3}{2}$,求得cosθ=$\frac{1}{2}$,∴θ=$\frac{π}{3}$,
故选:A.
点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算,属于基础题.
A. | 14 | B. | 16 | C. | 19 | D. | 21 |
A. | (1,2) | B. | ($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$) | C. | ($\sqrt{3}$,2) | D. | ($\sqrt{2}$,2) |
甲 | 99 | 89 | 97 | 85 | 95 | 99 |
乙 | 89 | 93 | 90 | 89 | 92 | 90 |
(Ⅱ)计算甲、乙两同学考试成绩的方差,并对甲、乙两同学的考试成绩做出合理评价.