题目内容

设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为
3
5

（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线被C所截线段的长度．
（1）将（0，4）代入C的方程得
16
b2
=1，
∴b=4，
又e=
c
a
=
3
5
，
得
a2-b2
a2
=
9
25

即1-
16
a2
=
9
25
，
∴a=5
∴C的方程为
x2
25
+
y2
16
=1．
（2）过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线方程为y=
4
5
(x-3)，
设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=
4
5
(x-3)代入C的方程，得
x2
25
+
(x-3)2
25
=1，
即x2-3x-8=0，
∴x1+x2=-3，x1x2=-8．
∴|AB|=
1+k2
|x2-x1|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
41
5
．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知焦点在x轴上的椭圆
x2
20
+
y2
b2
=1(b＞0)经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使△ABM为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存，请说明理由．
点P（4，4），圆C：（x-1）2+y2=5与椭圆E：
x2
18
+
y2
2
=1有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆左、右焦点，直线PF1与圆C相切．设Q为椭圆E上的一个动点，求
AP
•
AQ
的取值范围．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点．
（1）若椭圆的半焦距c=
3
，直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8，求椭圆的方程；
（2）若O（
OA
•
OB
=0为坐标原点），求证：
1
a2
+
1
b2
=2；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2
，求椭圆长轴长的取值范围．
已知直线l：y=2x与抛物线C：y=
1
4
x2交于A（xA，yA）、O（0，0）两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B（xB，yB）．如图所示．
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；
（3）过抛物线y=
1
4
x2的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．
已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y=
3
x相切，圆N：（x-2）2+y2=1．过点P（1，
3
）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：
s
t
是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
已知A、B是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的左、右顶点，椭圆上异于A、B的两点C、D和x轴上一点P，满足
AP
=
1
3
AD
+
2
3
AC
．
（1）设△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1S3=S2S4；
（2）设P点的横坐标为x0，求x0的取值范围．
如图，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且
|CD|
|ST|
=2
2
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足
OA
+
OB
=t
OP
（O为坐标原点），当|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
时，求实数t的取值范围．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±
3
x，O为坐标原点，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
⊥
OQ
，求|OP|2+|OQ|2的最小值．

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