题目内容

已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±
3
x，O为坐标原点，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
⊥
OQ
，求|OP|2+|OQ|2的最小值．
（1）双曲线C的渐近线方程为y=±
3
x，
∴b2=3a2，
∵点M(
5
，
3
)在双曲线上，∴
5
a2
-
3
b2
=1，
联立得
b2=3a2
5
a2
-
3
b2
=1
，解得
a2=4
b2=12
，
∴双曲线C的方程为
x2
4
-
y2
12
=1．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），
将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为（3-k2）x2-2kmx-m2-12=0
∴
3-k2≠0
△=(-2km)2-4(3-k2)(-m2-12)＞0
（*）
x1+x2=
2km
3-k2
，x1x2=
-m2-12
3-k2
，
由
OP
•
OQ
=0⇒x1•x2+y1•y2=0，
把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入上式可得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴(1+k2)
-m2-12
3-k2
+km
2km
3-k2
+m2=0，
化简得m2=6k2+6．
|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)[(x1+
x2
)2-4x1x2]=24+
384k2
(k2-3)2
，
当k=0时，|PQ|2=24+
384k2
(k2-3)2
≥24成立，且满足（*）
又∵当直线PQ垂直x轴时，|PQ|2＞24，
∴|OP|2+|OQ|2的最小值是24．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为
3
5

（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线被C所截线段的长度．
如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为
2
4
，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心，
3
2
5
为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．
若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且
AC
=2
CB
，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．
已知直线l1过A（0，1），与直线x=-2相交于点P（-2，y0），直线l2过B（0，-1）与x相交于Q（x0，0），x0、y0满足y0-
x0
2
=1，l1∩l2=M．
（Ⅰ）求直线l1的方程（方程中含有y0）；
（Ⅱ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅲ）过C左焦点F1的直线l与C相交于点A、B，F2为C的右焦点，求△ABF2面积最大时点F2到直线l的距离．
已知两点F′（-2，0），F（2，0），点P为坐标平面内的动点，且满足|
F′F
||
FP
|+
F′F
•
F′P
=0．
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线l与轨迹C和⊙F：（x-2）2+y2=1交于四点，自下而上依次记这四点为A、B、C、D，求
AB
•
CD
的最小值．
已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，右焦点为（2
2
，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点为F1（-c，0），F2（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足|
F1Q
|=2a，点P是线段F1Q与该椭圆的交点
（1）若点P的横坐标为
a
2
，证明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在点Q，使得△F1QF2的面积等于b2，求椭圆离心率的取值范围．
已知抛物线方程y2=4x，过点P（1，2）的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（　　）
A．0条B．1条C．2条D．3条

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