题目内容
已知A、B是椭圆
+
=1的左、右顶点,椭圆上异于A、B的两点C、D和x轴上一点P,满足
=
+
.
(1)设△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S1、S2、S3、S4,求证:S1S3=S2S4;
(2)设P点的横坐标为x0,求x0的取值范围.
x2 |
4 |
y2 |
3 |
AP |
1 |
3 |
AD |
2 |
3 |
AC |
(1)设△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S1、S2、S3、S4,求证:S1S3=S2S4;
(2)设P点的横坐标为x0,求x0的取值范围.
(1)证明:∵
=
+
,∴
=
+(1-
)
,
即
-
=
(
-
),
∴
=
,
∴C、D、P三点共线,且C、D在P点的两侧,
∵△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S1、S2、S3、S4,
∴
=
=
,∴S1S3=S2S4.
(2)由(Ⅰ)知,C、D、P三点共线,且C、D在P点的两侧,且C、D异于A、B的两点,
∴-2<x0<2,且直线CD不平行于x轴,
设直线CD的方程为:x=my+x0
由
,得:(3m2+4)y2+6mx0y+3x02-12=0,
当-2<x0<2时,直线与椭圆有两个交点,
设C(x1,y1),D(x2,y2),
∴y1+y2=-
,y1y2=
,
又
=
,∴y2=-2y1,
联立三式,消去y1、y2得:-
=
,
化简得:(27x02-12)m2=4(4-x02),
∵-2<x0<2,m2>0,∴27x02-12>0,
所以x0>
或x0<-
,
综上知x0的取值范围是(-2,-
)∪(
,2).
AP |
1 |
3 |
AD |
2 |
3 |
AC |
AP |
1 |
3 |
AD |
1 |
3 |
AC |
即
AP |
AC |
1 |
3 |
AD |
AC |
∴
CP |
1 |
3 |
CD |
∴C、D、P三点共线,且C、D在P点的两侧,
∵△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S1、S2、S3、S4,
∴
S1 |
S2 |
|
| ||
|
|
S4 |
S3 |
(2)由(Ⅰ)知,C、D、P三点共线,且C、D在P点的两侧,且C、D异于A、B的两点,
∴-2<x0<2,且直线CD不平行于x轴,
设直线CD的方程为:x=my+x0
由
|
当-2<x0<2时,直线与椭圆有两个交点,
设C(x1,y1),D(x2,y2),
∴y1+y2=-
6mx0 |
3m2+4 |
3x02-12 |
3m2+4 |
又
CP |
1 |
3 |
CD |
联立三式,消去y1、y2得:-
72m2x02 |
(3m2+4)2 |
3x02-12 |
3m2+4 |
化简得:(27x02-12)m2=4(4-x02),
∵-2<x0<2,m2>0,∴27x02-12>0,
所以x0>
2 |
3 |
2 |
3 |
综上知x0的取值范围是(-2,-
2 |
3 |
2 |
3 |
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