题目内容
如图，椭圆E：
+
=1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且
=2
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足
+
=t
（O为坐标原点），当|
-
|＜
时，求实数t的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| |CD| |
| |ST| |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足
| OA |
| OB |
| OP |
| PA |
| PB |
2
| ||
| 3 |
（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F2（1，0）．
所以椭圆E的方程为：
+
=1．
解方程组
得C（1，2），D（1，-2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴
=
=2
，|F2S|=
，∴S(1，
)．
因此，
+
=1，解得b2=1并推得a2=2．
故椭圆的方程为
+y2=1．
（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．
AB：y=k（x-2），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
代入椭圆方程，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，k2＜
∴x1x2=
，x1+x2=
，
∵|
-
|＜
，
∴
|x1-x2|＜
，
∴（1+k2）[
-4×
]＜
，
∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，
∴k2＞
，
∴
＜k2＜
，
∵满足
+
=t
，
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∴x=
=
，y=
=
，
∵点P在椭圆上，
∴[
]2+2[
]2=2
∴16k2=t2（1+2k2）
∴t2=
=8-
，由于
＜k2＜
，
∴-2＜t＜-
或
＜t＜2
∴实数t取值范围为：-2＜t＜-
或
＜t＜2．
所以椭圆E的方程为：
| x2 |
| b2+1 |
| y2 |
| b2 |
解方程组
|
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴
| |F2C| |
| |F2S| |
| |CD| |
| |ST| |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
因此，
| 1 |
| b2+1 |
| 1 |
| 2b2 |
故椭圆的方程为
| x2 |
| 2 |
（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．
AB：y=k（x-2），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
代入椭圆方程，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，k2＜
| 1 |
| 2 |
∴x1x2=
| 8k2-2 |
| 1+2k2 |
| 8k2 |
| 1+2k2 |
∵|
| PA |
| PB |
2
| ||
| 3 |
∴
| 1+k2 |
2
| ||
| 3 |
∴（1+k2）[
| (8k2)2 |
| (1+2k2)2 |
| 8k2-2 |
| 1+2k2 |
| 20 |
| 9 |
∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，
∴k2＞
| 1 |
| 4 |
∴
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∵满足
| OA |
| OB |
| OP |
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∴x=
| x1+x2 |
| t |
| 8k2 |
| t(1+2k2) |
| y1+y2 |
| t |
| -4k |
| t(1+2k2) |
∵点P在椭圆上，
∴[
| 8k2 |
| t(1+2k2) |
| -4k |
| t(1+2k2) |
∴16k2=t2（1+2k2）
∴t2=
| 16k2 |
| 1+2k2 |
| 8 |
| 1+2k2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴-2＜t＜-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴实数t取值范围为：-2＜t＜-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
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