题目内容
已知椭圆C1:
+
=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点.
(1)若椭圆的半焦距c=
,直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8,求椭圆的方程;
(2)若O(
•
=0为坐标原点),求证:
+
=2;
(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率e满足
≤e≤
,求椭圆长轴长的取值范围.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)若椭圆的半焦距c=
3 |
(2)若O(
OA |
OB |
1 |
a2 |
1 |
b2 |
(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率e满足
| ||
3 |
| ||
2 |
(1)∵椭圆的半焦距c=
,
直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8,
∴2a•2b=8,
∴
,
解得a=2,b=1,
∴椭圆的标准方程为
+y2=1.
(2)证明:∵椭圆C1:
+
=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点,
∴设A(x1,y1),B(x2,y2),∵
⊥
,∴x1x2+y1y2=0,
∵y1=1-x1,y2=1-x2,
∴2x1x2-(x1+x2)=0,①
又将y=1-x代入
+
=1,得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,
∵△>0,∴x1+x2=
,x1x2=
,
代入①化简得
+
=2.
(3)∵e2=
=1-
,
∴
≤1-
≤
,
∴
≤
≤
,
由(1)知b2=
,
∴
≤
≤
,
∴
≤a≤
,
∴长轴2a∈[
,
].
3 |
直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8,
∴2a•2b=8,
∴
|
解得a=2,b=1,
∴椭圆的标准方程为
x2 |
4 |
(2)证明:∵椭圆C1:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∴设A(x1,y1),B(x2,y2),∵
OA |
OB |
∵y1=1-x1,y2=1-x2,
∴2x1x2-(x1+x2)=0,①
又将y=1-x代入
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵△>0,∴x1+x2=
2a2 |
a2+b2 |
a2(1-b2) |
a2+b2 |
代入①化简得
1 |
a2 |
1 |
b2 |
(3)∵e2=
c2 |
a2 |
b2 |
a2 |
∴
1 |
3 |
b2 |
a2 |
1 |
2 |
∴
1 |
2 |
b2 |
a2 |
2 |
3 |
由(1)知b2=
a2 |
2a2-1 |
∴
1 |
2 |
1 |
2a2-1 |
2 |
3 |
∴
| ||
2 |
| ||
2 |
∴长轴2a∈[
5 |
6 |
练习册系列答案
相关题目