题目内容

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点.
(1)若椭圆的半焦距c=
3
,直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8,求椭圆的方程;
(2)若O(
OA
OB
=0
为坐标原点),求证:
1
a2
+
1
b2
=2

(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2
,求椭圆长轴长的取值范围.
(1)∵椭圆的半焦距c=
3

直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8,
∴2a•2b=8,
ab=2
a2-b2=3

解得a=2,b=1,
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+y2=1

(2)证明:∵椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点,
∴设A(x1,y1),B(x2,y2),∵
OA
OB
,∴x1x2+y1y2=0,
y1=1-x1,y2=1-x2
∴2x1x2-(x1+x2)=0,①
又将y=1-x代入
x2
a2
+
y2
b2
=1
,得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,
∵△>0,∴x1+x2=
2a2
a2+b2
x1x2=
a2(1-b2)
a2+b2

代入①化简得
1
a2
+
1
b2
=2.
(3)∵e2=
c2
a2
=1-
b2
a2

1
3
≤1-
b2
a2
1
2

1
2
b2
a2
2
3

由(1)知b2=
a2
2a2-1

1
2
1
2a2-1
2
3

5
2
≤a≤
6
2

∴长轴2a∈[
5
6
].
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