Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（1，$\frac{3}{2}$），离心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）已知直线l：x=my+1与椭圆相交于A，B两点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$可得a=2c，b=$\sqrt{3}$c；再由点P在椭圆上，解方程可求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）右焦点F（1，0），直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），从而联立方程再用韦达定理，再写出k_PA，k_PB，从而化简t=k_PA•k_PB•k．从而由配方法求最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）设c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，由题意，得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
所以 a=2c，b=$\sqrt{3}$c．
又点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
解得a=2，c=1，
故椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线方程和椭圆方程，消去x，
得 （4+3m²）y²+6my-9=0．
由题意，可知△＞0，
则y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，①
所以直线PA的斜率k_PA=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$，直线PB的斜率k_PB=$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，
所以t=k_PA•k_PB•k=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$•$\frac{1}{m}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}+\frac{9}{4}-\frac{3}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{3}{y}_{1}{y}_{2}}$
代入①，化简可得t=-$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{3}{4m}$=-（$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{8}$）²+$\frac{9}{64}$，
则当m=-$\frac{8}{3}$时，△ABP三条边所在直线的斜率的乘积t有最大值$\frac{9}{64}$．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．