题目内容

13.已知O是坐标原点,椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为F1,F2,离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,且过点$P(1,\frac{{\sqrt{2}}}{2})$.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若⊙O是以F1F2为直径的圆,一直线l:y=kx+m与⊙O相切,并与椭圆交于不同的两点A、B,当$\frac{2}{3}≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤\frac{3}{4}$时,求△ABC的面积S的最大值.

分析 (Ⅰ)由离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,且过点$P(1,\frac{{\sqrt{2}}}{2})$,求出a,b,即可求出椭圆的标准方程.
(Ⅱ)由圆O与直线l相切,知$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,联立直线与椭圆,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由直线l与椭圆交于两个不同点,得到k2>0,由此能推导出△AOB的面积S的最大值.

解答 解:(Ⅰ)∵离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,且过点$P(1,\frac{{\sqrt{2}}}{2})$,
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}$=1,$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴a=$\sqrt{2}$,b=1,
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(Ⅱ)∵圆O与直线l相切,∴$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,即m2=k2+1,
联立直线与椭圆,消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
∵直线l与椭圆交于两个不同点,∴△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,
∴k2>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$,
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$,
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$,
∵$\frac{2}{3}≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤\frac{3}{4}$,
∴$\frac{2}{3}$≤$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$≤$\frac{3}{4}$,
∴$\frac{1}{2}$≤k2≤1,
S=S△ABO=$\sqrt{\frac{2({k}^{4}+{k}^{2})}{4({k}^{4}+{k}^{2})+1}}$,
 设u=k4+k2,则$\frac{3}{4}≤u≤2$,S=$\sqrt{\frac{2u}{4u+1}}$,u∈[$\frac{3}{4}$,2],
∵S关于u在[$\frac{3}{4}$,2]单调递增,S($\frac{3}{4}$)=$\frac{\sqrt{6}}{4}$,S(2)=$\frac{2}{3}$,
∴△AOB的面积S的最大值为$\frac{2}{3}$.

点评 本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积取值范围的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.

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