Question

12．已知函数$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）+\sqrt{3}sin（4x+\frac{π}{3}）$
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{48}$个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[-π，0]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，结合辅助角公式进行化简，即可求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）根据三角函数的图象变换，进行化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin4x-\frac{1}{2}cos4x）+\sqrt{3}•（\frac{1}{2}sin4x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos4x）$=$\sqrt{3}sin4x+cos4x$=$2sin（4x+\frac{π}{6}）$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤4x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为$[\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}]$，k∈Z．
（Ⅱ）将$f（x）=2sin（4x+\frac{π}{6}）$的图象向左平移$\frac{π}{48}$个单位，得到$y=2sin[4（x+\frac{π}{48}）+\frac{π}{6}]$=$2sin（4x+\frac{π}{4}）$，
再将$y=2sin（4x+\frac{π}{4}）$图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到$g（x）=2sin（x+\frac{π}{4}）$．
∵x∈[-π，0]，∴$x+\frac{π}{4}∈[-\frac{3}{4}π，\frac{π}{4}]$．∴$sin（x+\frac{π}{4}）∈[-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，
∴$g（x）∈[-2，\sqrt{2}]$．
∴函数y=g（x）在[-π，0]上的值域为$[-2，\sqrt{2}]$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．