题目内容

4．如表是某厂生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组统计数据：
x34567
y5.88.29.712.214.1
（1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并估计产量为20吨时，生产能耗为多少吨标准煤？
参考数值：3×5.8+4×8.2+5×9.7+6×12.2+7×14.1=270.6．

分析 （1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数$\hat{b}$的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出$\hat{a}$的值，得到线性回归方程．
（2）根据上一问所求的线性回归方程，由回归系数，可知正相关还是负相关，把x=20代入线性回归方程，预测生产20吨时，生产能耗为多少吨标准煤．

解答 解：（1）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（3+4+5+6+7）=5（吨），$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（5.8+8.2+9.7+12.2+14.1）=10（吨），
$\sum _{i=1}^{5}$xiyi=3×5.8+4×8.2+5×9.7+6×12.2+7×14.1=270.6，
$\sum _{i=1}^{5}$xi2=9+16+25+36+49=135，
∴$\hat{b}$=$\frac{270.6-5•5•10}{135-5•5•5}$=2.06，
∴$\hat{a}$=10-2.06×5=-0.3，
∴y关于x的回归方程为$\widehat{y}$=2.06x-0.3；
（2）由（1）中y关于x的回归方程为$\widehat{y}$=2.06x-0.3，
2.06＞0，故x与y之间是正相关，
当x=20时，$\widehat{y}$=2.06×20-0.3=40.9，
故产量为20吨时，生产能耗约为40.9吨标准煤．

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，是一个基础题，解题时运算量比较大，注意利用公式求系数时，不要在运算上出错．属于中档题．

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