题目内容

7.北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入$\frac{1}{6}({{x^2}-600})$万作为技改费用,投入(50+2x)万元作为宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.

分析 (1)设每件定价为t元,则(8-(t-25)×0.2)•t≥25×8,由二次不等式的解法即可得到;
(2)由题得当x>25时:$ax≥25×8+\frac{1}{6}({{x^2}-600})+({50+2x})$有解,由分离参数和基本不等式,可得最值,即可得到a的范围.

解答 解:(1)设每件定价为t元,
则(8-(t-25)×0.2)•t≥25×8,
整理得t2-65t+1000≤0?25≤t≤40,
∴要满足条件,每件定价最多为40元;                   
(2)由题得当x>25时:$ax≥25×8+\frac{1}{6}({{x^2}-600})+({50+2x})$有解,
即:$a≥\frac{150}{x}+\frac{1}{6}x+2,x>25$有解.
又$\frac{150}{x}+\frac{1}{6}x≥2\sqrt{\frac{150}{x}•\frac{x}{6}}=10$,
当且仅当x=30>25时取等号,
∴a≥12.
即改革后销售量至少达到12万件,才满足条件,此时定价为30元/件.

点评 本题考查二次不等式的解法和不等式有解的条件,主要考查基本不等式的运用:求最值,属于中档题.

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