题目内容
【题目】已知函数的图象与x轴交点为
,与此交点距离最小的最高点坐标为
.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)若函数满足方程
,求方程在
内的所有实数根之和;
(Ⅲ)把函数的图像的周期扩大为原来的两倍,然后向右平移
个单位,再把纵坐标伸长为原来的两倍,最后向上平移一个单位得到函数
的图像.若对任意的
,方程
在区间
上至多有一个解,求正数k的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)依题意作出部分函数图像,由最大值确定A,周期确定,特殊点
确定
即可求出解析式;(Ⅱ)由周期知
在
内恰有2个周期,则方程有四个根,结合图像利用对称轴即可求出所有根的和;(Ⅲ)根据三角函数的图像变化,数形结合即可得到结论.
(Ⅰ)从图知,函数的最大值为1,则,
函数的周期为
,而
,则
又时,
,
,
,
解得,而
,则
,
∴函数的表达式为
.
(Ⅱ)的周期为
,
在
内恰有2个周期,
并且方程在
内有4个实根设为
,
结合图像知.
故所有实数之和为.
(Ⅲ)先把的图像的周期扩大为原来的两倍,得到
,然后向右平移
个单位得到
,纵坐标伸长为原来的2倍再向上平移1个单位得到
,
函数的图象如图所示,
则当图象伸长为原来的5倍以上时符合题意,所以
.
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