题目内容
【题目】已知函数(
),且满足
.
(1)求a的值;
(2)设函数,
(
),若存在
,
,使得
成立,求实数t的取值范围;
(3)若存在实数m,使得关于x的方程恰有4个不同的正根,求实数m的取值范围.
【答案】(1)1;(2);(3)
【解析】
(1)根据题意,代入函数值,即可求解;
(2)根据题意,求解函数和
值域,若存在
,
,使得
成立,转化为值域有交集,即可求解参数取值范围;
(3)由(1)分析函数的值域,可知
时,
有两根;再观察方程,同除
后方程可化简为
,只需使方程在
上有两根,即可求解.
(1)由,得
或0.
因为,所以
,所以
.
(2),
所以;故
的值域为
因为时,
在
上单调递增,
,
所以的值域为
,由题意
,
考虑到,所以
,解得
;
综上:实数t的取值范围是
(3)当时,
,
在
上为增函数;
当时,
.
可得在
上为减函数,当
时,
.
方程可化为
,
即.
设,方程可化为
.
要使原方程有4个不同的正根,
则关于s方程在
有两个不等的根
,
,
则有,解得
,
所以实数m的取值范围为.
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