题目内容
【题目】已知圆M的圆心为M（﹣1，2），直线y=x+4被圆M截得的弦长为 
，点P在直线l：y=x﹣1上．
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点Q在圆M上，且满足 
=4 
，求点P的坐标；
（3）设半径为5的圆N与圆M相离，过点P分别作圆M与圆N的切线，切点分别为A，B，若对任意的点P，都有PA=PB成立，求圆心N的坐标．
【答案】
（1）解：点M到直线y=x+4的距离d= 
= 
．
∴圆M的半径r= 
=1．
∴圆M的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=1．
（2）解：∵点Q在圆M上，∴| 
|=1．
∴| 
|=4| |=4．
设P（a，b）则 
，解得 
或 
．
∴点P坐标为（﹣1．﹣2）或（3，2）．
（3）设N（m，n），P（x，x﹣1），
∵PA，PB分别与圆M，圆N相切，
∴PA2=PM2﹣1，PB2=PN2﹣5．
∵对任意点P，都有PA=PB，
∴（x+1）2+（x﹣3）2﹣1=（x﹣m）2+（x﹣1﹣n）2﹣25恒成立．
整理得：2（m+n﹣1）x+33﹣m2﹣n2﹣2n=0恒成立．
∴ 
，解得 
或 
．
∴N（5，﹣4）或N（﹣3，4）．
【解析】（1）求出M到直线y=x+4的距离，利用垂径定理计算圆M的半径，得出圆M的标准方程；（2）由|MQ|=1可知|MP|=4，利用两点间的距离公式列方程解出P点坐标；（3）由切线的性质可知PA2=PM2﹣1，PB2=PN2﹣5．设N（m，n），P（x，x﹣1），列出方程，令关于x的方程恒成立得出m，n．
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