Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为： ，直线的参数方程是（为参数， ）．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：(1) 利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，(2)根据直线参数方程几何意义得，所以先将直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理得，从而可解得．

试题解析：（I）曲线,即,于是有,化为直角坐标方程为:

（II）方法1: ,即

由的中点为得,有,所以,由 得

方法2:设,则,∵,∴,由 得.

方法3: 设,则由是的中点得, ,

∵,∴,知,∴,由 得.

方法4:依题意设直线,与联立得,即,由得 ,因为 ,所以.