Question

17．若关于x的方程2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a-1=0（a∈R）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不相等的实根x₁，x₂，则（　　）

• A． x₁+x₂＞|a+1|^1.1
• B． x₁+x₂＜|a+1|^1.1
• C． x₁+x₂=|a+1|^1.1
• D． x₁+x₂与|a+1|^1.1的大小关系无法确定

Answer 1

分析 由三角函数的知识可得问题等价于y=2sinθ，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，与直线y=1-a有两个不同交点，数形结合可得．

解答 解：∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴θ=2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴方程2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a-1=0可化为2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1-a，即2sinθ=1-a，
等价于y=2sinθ，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，与直线y=1-a有两个不同交点，
数形结合可得1≤1-a＜2，解得-1≤a≤0，可得0＜1+a≤1，
由函数的对称性可知θ₁+θ₂=2×$\frac{π}{2}$=π，
∴x₁+x₂=$\frac{{θ}_{1}-\frac{π}{6}}{2}$+$\frac{{θ}_{2}-\frac{π}{6}}{2}$=$\frac{π}{3}$＞1，
∴|1+a|^1.1＜1＜$\frac{π}{3}$=x₁+x₂．
故选：A．

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，数形结合是解决问题的关键，属中档题．