Question

6．已知函数f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期为π，函数f（x）的最大值为$\frac{7}{4}$，最小值为$\frac{3}{4}$．
（1）求ω、a、b的值；
（2）指出f（x）的单调递增区间；
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0.75＜a＜1.5），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出a和b，由周期求出ω，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的单调区间，求得出f（x）的单调递增区间．
（3）由题意可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{25π}{6}$]，方程f（x）=a（0.75＜a＜1.5），即 sin（2x+$\frac{π}{6}$）=2（a-$\frac{5}{4}$），分类讨论a的范围，再结合函数的图象的对称性求得方程f（x）=a的实数根之和．

解答 解：（1）∵函数f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期为π，∴$\frac{2π}{2ω}$=π，求得ω=1．
再根据函数f（x）的最大值为a+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{7}{4}$，最小值为-a+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{3}{4}$，求得 a=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴函数f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$．
（2）根据f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（3）在[0，2π]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{25π}{6}$]，方程f（x）=a（0.75＜a＜1.5），
即$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$=a，即 sin（2x+$\frac{π}{6}$）=2（a-$\frac{5}{4}$），
分类讨论如下：
当a∈（0.75，1.25）时，方程f（x）=a的实数根有4个，它们的和为2（$\frac{2π}{3}$+$\frac{5π}{3}$）=$\frac{14π}{3}$；
当a∈（1.25，1.5）时，方程f（x）=a共有4个根，它们的和为2（$\frac{π}{6}$+$\frac{7π}{6}$）=$\frac{8π}{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出a和b，由周期求出ω，正弦函数的单调区间，方程根的存在性以及个数判断，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．