题目内容
【题目】已知定义域为的函数
是奇函数.
(1)求的解析式;
(2)试判断的单调性,并用定义法证明;
(3)若存在,使得不等式
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
在
上单调递增,证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)根据题意,得到,求出
,即可得出结果;
(2)根据题意得到,任取
,且
,作差法比较
,
,根据函数单调性的概念,即可得出结果;
(3)先由函数奇偶性与单调性得到存在,使得
成立,推出存在
,使得
成立;令
,求出其最小值,即可得出结果.
(1)由题意可得,解得
,
故;
(2),可得
在
上单调递增,
任取,且
,
,
∵∴
即
,
又,
,∴
即
,
故在
上单调递增.
(3),
因为是奇函数,所以
,
由(2)可知在
上单调递增,
所以存在,使得
成立,
即存在,使得
成立;
令,
,
易得其在上单调递增;
所以;
故,
所以k的取值范围为.
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