题目内容

【题目】在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则(  )

A平面α与平面β垂直

B平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°

C平面α与平面β平行

D平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°

【答案】A

【解析】设P1=fα(P),则根据题意,得点P1是过点P作平面α垂线的垂足

∵Q1=fβ[fα(P)]=fβ(P1),

∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足

同理,若P2=fβ(P),得点P2是过点P作平面β垂线的垂足

因此Q2=fα[fβ(P)]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足

∵对任意的点P,恒有PQ1=PQ2

∴点Q1与Q2重合于同一点

由此可得,四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角

∵∠P1Q1P2是直角,∴平面α与平面β垂直

故选:A

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