Question

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.

(1)证明：OM·OP＝OA²；
(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.

Answer 1

见解析

证明　(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA²＝OM·OP.
(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB²＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，
即＝.又∠NOP＝∠MOK，
所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.