题目内容

棱长为3,各面都为等边三角形的正四面体内任取一点P,由点P向各面引垂线,垂线段长度分别为d1,d2,d3,d4,则d1+d2+d3+d4的值为______.
由于正四面体的边长为3,
可得它的高为h=
6
3
×3=
6

如图,设正四面体ABCD内有一点P,根据题意得
VA-BCD=VP-ABC+VP-ACD+VP-ABD+VP-BCD,即:
1
3
S△BCD×
6
=
1
3
S△ABC×d1+
1
3
S△ACD×d2+
1
3
S△ABD×d3+
1
3
SBCD×d4
∵正四面体的各个面是全等的正三角形,
∴两边约去
1
3
S△BCD,可得
6
=d1+d2+d3+d4
即d1+d2+d3+d4为定值
6

故答案为:
6

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