Question

19．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点x₁，x₂，则tan（x₁+x₂）的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 利用两角和与差的正弦将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-m，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]⇒2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的单调性可求对应区间上f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-m的值域，结合题意可从而可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-m
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）-m
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-m，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2，
∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点x₁，x₂，
∴正弦y=m与f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个交点，如图：
∴x₁+x₂=$\frac{π}{3}$，
∴tan（x₁+x₂）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题考查两角和与差的正弦，考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的零点与半角三角函数，求得x₁+x₂是关键，属于中档题．