Question

14．已知函数f（x）=4sinx-cos2x．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入x=$\frac{π}{6}$，利用特殊角的三角函数值即可得解．
（Ⅱ）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2（sinx+1）²-3，结合-1≤sinx≤1，利用二次函数的性质即可得解．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）$f（\frac{π}{6}）=4sin\frac{π}{6}-cos\frac{π}{3}=4×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）=4sinx-cos2x
=4sinx-（1-2sin²x）…（6分）
=2sin²x+4sinx-1
=2（sinx+1）²-3．…（8分）
∵-1≤sinx≤1，
∴当sinx=-1，即$x=2kπ-\frac{π}{2}，k∈Z$时，f（x）取得最小值-3．…（13分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，二次函数性质的应用，属于基本知识的考查．