Question

4．已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在点x=1处有极小值-1，
（1）求a，b的值     
（2）求出f（x）的单调区间．
（3）求x=2处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，即f（1）=-1，f′（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；
（2）分别解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间；
（3）求导数，求出切线的斜率，即可求x=2处的切线方程．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=x³-x²-x；（4分）
（2）∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，
即$（{-∞，-\frac{1}{3}}）与（{1，+∞}）$为函数f（x）单调递增区间  （8分）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
即$（{-\frac{1}{3}，1}）$为函数f（x）单调递减区间          （10分）
（3）k=f'（2）=32²-2•2-1=7，f（2）=2³-2²-2=2，即x=2处的切线方程为y-2=7（x-2），（13分）
即切线方程为：y-7x+12=0（14分）

点评 本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，考查导数的几何意义，属于中档题．