Question

15．已知数列{a_n}，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n，且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，S_n为b_n的前n项和，求S₂₀₁₃+$\frac{1}{{a}_{2014}}$的值．

Answer 1

分析 a_n+1=a_n²+a_n，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，利用“裂项求和”可得：列{b_n}前n项和S_n，即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n²+a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$．
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴数列{b_n}前n项和S_n=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$
=2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴S₂₀₁₃+$\frac{1}{{a}_{2014}}$=2-$\frac{1}{{a}_{2014}}$+$\frac{1}{{a}_{2014}}$=2．

点评 本题考查了“裂项求和”、递推式的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．